一、虚构数及数域扩张

1901年，胡塞尔应大卫·希尔伯特（David Hilbert）之邀，在哥廷根数学协会作了两次报告，问题主要涉及算术中的虚构数及数域扩张。

众所周知，算术的原初领域是自然数。顾名思义，自然数就是最自然的数，它们作为数的地位无需辩护。自然数产生于我们的计数行为。一般的数概念就起源于我们在生活世界中的这种基本实践活动。按照胡塞尔的分析，具体的自然数是对“多少”（wieviel）这个问题的回答，是确定了的“多少”。①不同于通行的观念，胡塞尔认为0和1不属于最自然的数，因为严格来说它们恰恰是“多”的对立面，因而是对“wieviel”（如何多？）的负面回答，但这无法在“wieviel”的中文翻译“多少”中准确地体现出来。然而0和1与后文所要讨论的虚构数还不完全是一回事，对于这一点，本文不作深究。参见Edmund Husserl， Gesammelte Werke Band XII， Philosophie der Arithmetik，Mit erg?nzenden Texten（ 1890—1901），Hrsg.von Lothar Eley， Den Haag：Martinus Nijhoff，1970，S.129ff。因此，凭借这一概念的本性（或者如下文所述，质料意义）就可以一劳永逸地划出一个由全体自然数构成的区域：自然数域。自然数域是最原初的数域，其元素数目虽然无限，但它却是封闭的。因为除了在回答“多少”这一问题时，或者说在计数时能数到的那些数之外，我们无法任意地往其中添加任何新的东西。一个对象到底属不属于自然数域，是完全确定的。

然而，随着自然数一起诞生的还有对它的运算操作，它是除计数之外获得自然数的另一种方法②参见Edmund Husserl， Gesammelte Werke Band XII， Philosophie der Arithmetik，Mit erg?nzenden Texten（ 1890—1901），Hrsg.von Lothar Eley， Den Haag：Martinus Nijhoff，1970.， S.182。，并且正是运算才成就了算术这门科学。运算并非某种外在于自然数之本性、额外附加在自然数域上的东西，而是如胡塞尔所言，奠基于自然数的观念之中。③Ibid.， S.434.然而，虚构数及数域扩张的问题正是由运算而非计数引起的。

在基本的四则运算中，加法和乘法的实施在自然数域中并不受限，或者说，自然数域对于加法和乘法是闭合的，即任意两个自然数相加或相乘，其结果依然是自然数。但是对于二者的逆运算减法和除法，情况就变得复杂起来。以减法为例，自然数域只允许大数减小数，相反的操作则被禁止。④本文中所谈论的“数域”只是对Zahlengebiet（数领域）的简洁翻译，并非指抽象代数意义上的“域”（K?rper），后者要求对四则运算都封闭，在本文所谈到的数域中，只有有理数域、实数域和复数域才能满足这一要求。而突破这种限制的企图就导致了虚构数及数域扩张的问题。

虚构数的含义是，与划界概念的本性或质料意义相悖的“数”。对于由“多少”这一概念所划定的数域而言，负数和分数就是虚构数。因为它们无法回答“多少”的问题。之所以还能将它们称为数，很大程度上是因为，如果我们在想象中去除对逆运算的限制，那么它们可以被视为这种虚构运算的结果，正如真实的数可以被视为真实运算的结果。因此，虚构数并非像真实的数一样直接源于数概念的质料意义，而是纯粹来自运算，准确而言是来源于对逆运算之限制的去除。随着虚构数的产生，数域也随之扩张。

然而，严格来说，虚构数的存在性和数域扩张的合法性是成问题的。因为自然数始终是由“多少”这一概念所规定的。如胡塞尔所言，“正是这一概念为我设置了界限”①Edmund Husserl， Gesammelte Werke Band XII， Philosophie der Arithmetik， Mit erg?nzenden Texten（ 1890—1901），S.435.。既然如此，一个无法被归入这一概念之下的对象，如负数和分数，就不是数，甚至如果它们不能被归入任何概念之下，它们就不存在，而仅仅是空洞的符号。因此，以“多少”概念以及计数行为所一劳永逸地划定的自然数域，也就谈不上什么扩张。试图从逆运算出发来证成虚构数的合法性也是行不通的，因为产生虚构数的恰恰是虚构的逆运算。例如，就真实的减法a－b而言，a ＞ b是必要的前提。自然数概念与适合于它的运算必须是一致的。在此需要强调的是，对逆运算的限制并不像初看起来的那样容易去除。我们可能会认为，一种限制既然已经被注意到了，就预示了被超越的命运。有些人可能还会指出，小数不能减大数的限制违反了普遍性和对称性的要求，后者甚至可以被上升为科学的美学标准。然而，若要采取这一立场，我们必须首先超越自然数域，从扩张之后的整数域的角度去看待减法，因而有窃题之嫌。从自然数的质料意义出发去设想一种去除了限制的减法是悖谬的（Widersinn），因为比如我只有两个苹果，那么当然就无法吃掉三个。再比如，父亲生儿子是理所当然的，但是儿子生父亲则是荒谬的，我们无法有意义地主张，“生”这一关系也应该遵循对称美。②例如，帕斯卡曾认为从0减去4纯粹是胡说。参见莫里斯·克莱因：《古今数学思想》（ 第一卷），张理京、张锦炎、江泽涵译，上海：上海科学技术出版社2002年版，第291页。